Fractales

Un fractal es un objeto geométrico basado en un conjunto matemático cuya principal característica es la de la autosimilaridad.

Por decirlo de alguna manera, la autosimilaridad es la capacidad de una estructura de repetirse a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura, nos será imposible afirmar la distancia a la que nos encontramos de dicho objeto.

Existen diversos tipos y representaciones de fractales, pero esta hablaremos de algunos casos interesantes cuya representación se hace en 2D.

Árboles fractales

Un árbol fractal (o dosel fractal) es uno de los fractales más fáciles de generar. Este se basa en ir bifurcando un segmento en n segmentos cada uno a un ángulo α del segmento anterior.

Las únicas reglas que debe seguir un árbol fractal son:
-el ángulo entre los segmentos debe ser constante
-la relación entre las longitudes del segmento n y n+1 debe ser constante (normalmente ½)



A continuación, dejamos una aplicación con la que se pueden ver los diferentes tipos de árboles que se generan según el valor que le demos a α y el número de bifurcaciones que establezcamos


Juego del caos

El juego del caos es método dentro del campo de los fractales que nos permite generar estructuras autosimilares a partir de un grupo de vértices (generalmente pertenecientes a formas geométricas regulares) y un punto de inicio seleccionado aleatoriamente en el plano.

La parte más interesante de este “juego” es que a partir de números aleatorios somo capaces de generar diferentes tipos de fractales según los vértices iniciales que establezcamos.

Para representar esta estructura se deberán seguir las siguientes pautas:

Siendo c0 un punto cualquiera del plano
-1º tomamos an como uno de los vértices principales elegido aleatoriamente
-2º tomamos bn como el punto medio del segmento que une an y cn
-3º por último se situará un punto en bn y tomaremos cn+1 como ese mismo punto para volver al paso 1



Restricciones

Si a la hora de seleccionar el próximo vértice no solo nos basamos en la pura aleatoriedad, sino que también establecemos restricciones obtendremos otra gran variedad de fractales diferentes, entre las restricciones más comunes nos encontramos:

-que el vértice an+1 no pueda ser el mismo que an
-que el vértice an+1 no pueda ser igual al previo de an

A continuación, dejamos una aplicación con la que se pueden ver los diferentes tipos de fractales que se generan según el número de vértices que establezcamos y las restricciones

Conjunto Mandelbrot

El conjunto Mandelbrot es uno de los fractales más conocidos y estudiados por los matemáticos. Este fractal representa al conjunto de puntos C en el plano que tras haberles aplicado la siguiente sucesión n veces, el módulo de Z será siempre menor que 2

Z0 = C
Zn+1 = Zn2 + C

Si por ejemplo tomamos como C como -1 obtendremos la sucesión –1, 0, –1… cuyo modulo nunca será mayor que 2 por lo que podemos decir que -1 pertenece al conjunto Mandelbrot. Si en cambio tomamos C como 1 la sucesión que obtendremos será 1, 2, 5, 26… la cual sale del conjunto (su modulo supera a 2) rápidamente por lo que se dice que 1 no pertenece al conjunto.

De esta forma, si realizamos este proceso con todos los puntos del plano en los dos ejes (el de los números imaginarios y el de los reales) y coloreamos a aquellos pertenecientes al conjunto obtendremos la siguiente representación.



Por último, cabe destacar que si asignamos un color al número de veces que hemos tenido que aplicar la sucesión a cada punto (negro si nunca sale, rojo si ha escapado a las 10 iteraciones, azul si escapa a las 100…) obtendremos una representación cromática basada en la “velocidad” que tarda un punto en escapar del conjunto.



A continuación, dejamos una aplicación con la que se pueden generar diferentes regiones del conjunto Mandelbrot a diferentes escalas